Progresiones geométricas.

Una progresión geométrica es una sucesión de la forma, $$\left\{a_n\right\}=\ a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~\ldots,~a_n$$ en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija \(r\) llamada razón la cual es igual al cociente entre dos términos consecutivos. $$r=\frac{a_n}{a_{n-1}}$$ Como las progresiones geométricas son sucesiones, al igual que en los casos anteriores escribir una progresión geométrica consiste en darle valor a \(n\) dentro de los números naturales.

Ejemplo 1. Dada la progresión geométrica \(\left\{a_n\right\}=5,~a_2,~a_3,~a_4,~\ldots,~a_n\) cuya razón es tres, escribir los primeros cincos términos.
Solución: \(a_1=5,~a_2=5\left(3\right)=15\) de donde \(a_3=15\left(3\right)=45\); \(a_4=45\left(3\right)=135\); \(a_5=405\). La suceción completa etá dada por $$\{a_n\}=5,~15,~45,~135,~405,~\ldots,~a_n$$ Note que \(\{a_n\}=5,\ \ 5r,\ \ 5r^2,\ \ 5r^3,\ \ 5r^4\ldots\ 5r^n\) esta manera de escritura es muy útil en la resolución de problemas, como se muestra a continuación.

Ejemplo 2. Dada la progresión \( \left\{a_n\right\}=\ 16,a_2,a_3,a_4,\ldots a_n\) cuya razón \(r=1/2\) escribir los primeros cuatro términos.
Solución: \(\left\{a_n\right\}=16,\ \ 16r,\ \ 16r^2,\ \ 16r^3,\ \ \ldots\ 5r^n\) de donde se escribe,
\begin{array}i a_1=16~~~~~~~~~~~~~~~ &a_2=16\left(\frac{1}{2}\right)^2=8&\\ a_3=16\left(\frac{1}{2}\right)^3=4& a_4=16\left(\frac{1}{2}\right)^4=2\end{array} Término general de una progresión geométrica.
Sea la progresión geométrica \(\left\{a_n\right\}=\ a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~\ldots,~a_n\) entonces por ser geométrica: \begin{align} &a_1= a_1\\ &a_2= a_1\cdot r\\ &a_3= a_{\ 2}\cdot r= a_1\cdot r^2\\ &~~~~~\vdots\\ &a_n= a_1r^{n-1}\end{align} la cual es la expresión para calcular el término general de una progresión geométrica en la cual conocemos el primer término y la razón. De manera análoga a las progresiones aritméticas, se pude usar la expresión \(a_n=a_kr^{n-k}\) si se conoce el valor que ocupa cualquier otro término deposición \(k\) en la progresión, esta expresión se demuestra de igual manera que como se ha demostrado la anterior y es conocida como la forma alternativa.

Ejemplo 3. Término enésimo. Escribir el doceavo término de la progresión geométrica \(\{a_n\}=\ 16,\ 8,\ 4,\ 2,\ 1,\ldots a_n\)
Solución: la razón \(r=8/16=1/2\) de la expresión \(a_n=\ a_1r^{n-1}\) resulta \(a_{12}=16{(1/2)}^{12-1}=16{(1/2)}^{11}\) y se concluye que, $$a_{12}=16\ \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{11}\right]=16\left[\frac{1}{2048}\right]=\frac{1}{128}$$

Ejemplo 4. Forma alternativa. Determinar el quinto término de una progresión geométrica si se sabe que, \(r=1/2\) y \(a_{12}=1/128.\)
Solución: la expresión \(a_n=\ a_1r^{n-1}\) no es útil ya que no se tiene el valor de \(a_1\) utilizando \(a_k.r^{n-k}\) para \(k=12\) y \(a_{12}=1/128\) se tiene: $$a_5=\frac{1}{128}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{5-12}\right]=\frac{1}{128}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-7}\right]=\frac{1}{128}(2^7)=1$$ La cual es la misma sucesión del ejemplo uno. note que \(a_5=1.\)

Interpolación de términos en una progresión geométrica.
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números \(a\) y \(b,\) es construir una progresión geométrica de m términos cuyos extremos son \(a\) y \(b,\) y su razón es, $$r=\sqrt[m-1]{\frac{b}{a}}.$$ Ejemplo 5. Interpolar cinco medios geométricos entre 3 y 243.
Solución. se piden tres medios \(m=5\) (tres medios más los dos extremos). \begin{align} &r=\ \sqrt[5-1]{\frac{243}{3}}=\ \sqrt[4]{81}=3\\ &\left\{a_n\right\}=3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243\end{align}

Para ver más contenido relacionados a sucesiones haga clic en Ir arriba y luego en una de las pestañas de los contenidos de la parte superior.

Suma de \(n\) términos consecutivos.

Producto de los términos equidistantes a los extremos.
Sea \(\left\{a_n\right\}=\ a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\ a_{n-2}\ ,\ a_{n-1},a_n\) una progresión geométrica donde \(\ a_1\ y a_n\) son los extremos, se cumple que, $$a_1\cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=a_4\cdot a_{n-3}\ldots$$ y así sucesivamente, por ejemplo, dada \(\left\{a_n\right\}=3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ 96\) se comprueba que \(3\left(96\right)=6\left(48\right)=12\left(24\right)=288.\)

Producto de \(n\) términos consecutivos de la progresión geométrica. Si \(\left\{a_n\right\}=\ a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\ a_{n-2}\ ,\ a_{n-1},a_n\) es una progresión geométrica, entonces el producto de \(n\) términos consecutivos está dada por $$P_n=\sqrt{{(a_1a_n)}^n}$$ Demostración: sea \(\left\{a_n\right\}=\ a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\ a_{n-2}\ ,\ a_{n-1},a_n\) una progresión geométrica cualquiera, entonces el producto de sus términos es,
\(P_n=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot\ldots\ \cdot a_{n-2}\ \cdot\ a_{n-1}\cdot a_n\) que escrito descendente es,
\(P_n=a_n\cdot\ a_{n-1}\cdot a_{n-2}\cdot a_{n-3}\cdot a_{n-4}\cdot\ldots\cdot a_1\) y multiplicando miembro a miembro ambas expresiones se tiene, $$\left(P_n\right)^2=a_1\cdot a_n\cdot\left(a_2\cdot a_{n-1}\right)\cdot\left(a_3\cdot a_{n-2}\right)\cdot\left(a_4\cdot a_{n-3}\right)\cdot\left(a_5\cdot a_{n-4}\right)\ldots$$ que por ser las cantidades entre los paréntesis igual productos de términos equidistantes a los extremos \(a_1\) y \(a_n\) todos estos productos equivalen al producto \(a_1\cdot a_n\) así que para una cantidad n de productos entonces \(\left(P_n\right)^2={(a_1\cdot a_n)}^n\) de donde despejando \(P_n=\sqrt{\left(a_1\cdot a_n\right)^n}\) como se quería demostrar.

Ejemplo 3. Calcular el producto de los primeros \(5\) términos en \(\left\{a_n\right\}=4,\ 12,\ 36,\ 108,\ 324, ...\)
Solución: \(P_n=\sqrt{\left(a_1\cdot a_n\right)^n}\) entonces escribiendo \(324=4\cdot9^2\) se tiene $$P_n=\sqrt{{(4\cdot\ 4\cdot9^2)}^5}=\sqrt{{(\ 4^2\cdot9^2)}^5}=4^5\cdot9^5=60\ 466\ 176$$

Suma de \(n\) términos consecutivos de una progresión geométrica.

Sea la progresión \(\left\{a_n\right\}=a_1,\ a_2,\ a_3,a_4,\ldots a_n\) una progresión geométrica cuya razón es \(r\). La suma de \(n\) términos consecutivos es: $$S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{n-1}+a_n~~~~~~(1)$$ Multiplicando los dos miembros de esta ecuación por la razón \(r\) se tiene:
$$rS_n=ra_1+ra_2+ra_3+ra_4+\ldots+ra_n~~~~~recuerde~que~ ra_1=a_2;~~ra_2=a_3$$ y así sucesivamente hasta llega a \(ra_{n-1}=a_n\) por lo que se pude escribir \(rS_n\) como: $$rS_n=a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{n-1}+ra_n~~~~~~ (2)$$ Restando (1) de (2) se tiene:
$$\begin{matrix}rS_n=a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{n-1}+ra_n~~~~~~~~~~\\~\underline{-S_n=-a_1-a_2-a_3-a_4-\ldots-a_{n-1}+a_n}\\S_n(r-1)=ra_n-a_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{matrix}$$ de donde despejando \(S_n\) y sustituyendo \(a_n=a_1r^{n-1}\) se puede escribir, \begin{align} &S_n=\frac{ra_n-a_1}{r-1}=\frac{r(a_1r^{n-1})-a_1}{r-1}\\ &S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\end{align} las cuales son las expresiones para calcular la suma de \(n\) términos sucesivos, en una progresión geométrica.

Ejemplo 1: Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión \(\left\{a_n\right\}=\ 4,~12,~36,~108,~324,~\ldots\)
Solución: la progresión no expresa si es aritmética o geométrica, así que debe comenzar por investigar esto. Probando si es aritmética 36–12=24 y 12–4=8 luego como 24\neq8 no es aritmética y por tanto, debe ser es geométrica. Comprobando:
$$\frac{108}{36}=\frac{36}{12}=\frac{12}{4}=\ldots=3=r$$ Así que es geométrica y se tienen las expresiones matemáticas: \begin{align} &S_n=\frac{ra_n-\ a_1}{r-1}\Longrightarrow S_5=\frac{ra_5-\ a_1}{r-1}\\ &S_5=\frac{3\left(324\right)-4}{3-1}=\frac{972-4}{2}=\frac{968}{2}=484\end{align} Si se comprueba la suma \(4+12+36+108+324=484\). El hecho está si se pide hallar por ejemplo la suma de los primeros 1000 ¿Sumaría uno a uno los 1000 términos?
Además en la practica es más comun usar la expresión, \begin{align} &S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\\ &S_5=4\frac{1-3^5}{1-3}\\ &S_5=4\frac{1-243}{-2}=484 \end{align} La cual produce igual resultado, sin la necesidad de conocer o usar el dato \(a_5=324.\)

Ejemplo 2. Usted decide comenzar un plan de ahorros con miras a convertirse en una persona rica, para ello comienza ahorrando un peso en el día de hoy, dos pesos mañana, cuatros pesos pasado mañana, ochos pesos traspasado mañana y así sucesivamente ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado al final de los primeros treinta día si mantiene ese ritmo de ahorro?
Solución: se pide determinar S_{30} donde \(r=2,\) así que. \begin{align} &S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\\ &S_{30}=1\frac{1-{(2)}^{30}}{1-2}\\ &S_{30}=1\ 073\ 741\ 823\end{align} ¡Felicidades, se ha convertido en rico!

Suma de los \(n\) términos consecutivos de una progresión geométrica decreciente infinita.
En una progresión geométrica decreciente la razón es una fracción propia, y recuerde que cada término posee un factor \(r^{n-1}\) ¿Qué pasaría si se eleva una fracción \(\left(\frac{1}{k}\right)^n\) para \(k\) y \(n\) \(\in\mathbb{N}\)? El denominador de la fracción crecería infinitamente haciendo que el valor de la fracción esté cada vez más cerca de cero y por tanto cuando \(n\) aumente infinitamente \(a_1\cdot r^n\) tiende al límite cero y en consecuencia: $$S_n=\frac{ra_n- a_1}{r-1}~~ queda~~reducida~~a~~ S_n=-\frac{a_1}{r-1}$$ Al cambiar el signo, para que se vea más elegante, se tiene: $$S_n=\frac{a_1}{1-r}$$ La cual es la expresión más usada en la resolución de situaciones.

Ejemplo 3. Hallar la suma de los términos de la sucesión cuyo término general está dado por \(\left\{a_n\right\}=\ \frac{1}{2^n}\).
Solución: Note que la sucesión es una progresión geométrica decreciente infinita de la forma, $$\left\{a_n\right\}= \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^1},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\ldots$$ $$\left\{a_n\right\}=\ \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\ldots ~~~de ~donde~~ r=\frac{1}{2}$$ Determinando la suma:
$$S_n=\frac{a_1}{1-r} \Longrightarrow S_n=\frac{a_1}{1-\frac{1}{2}}\Longrightarrow S_n=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$$

Ejemplo 4. Hallar por suma al infinito la fracción que es equivalente a 0.281281… $${\rm Solución:}~~0.281281\ldots= \frac{281}{1000}+ \frac{281}{100000}+\frac{281}{1 000000000}+ \ldots$$ Esta es la suma de una progresión geométrica decreciente con razón: $$r=\frac{1}{1000} \Longrightarrow S_n= \frac{\frac{281}{1000}}{1-\frac{1}{1000}}=\frac{\frac{281}{1000}}{\frac{999}{1000}}=\frac{281}{999}$$

Ejemplo 5. Se deja caer una pelota desde una altura de 30 metros la cual al chocar con el suelo rebota y alcanza una altura \(h=\frac{1}{5}\) de la distancia anterior, continúa rebotando con igual razón hasta detenerse. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la pelota?
Solución: como la pelota se deja caer desde una altura de 30 metros es obvio que recorre esta distancia cuando cae, luego comienza a rebotar y cada vez recorre \(\frac{1}{5}\) de la distancia anterior hasta detenerse, con lo cual se puede construir una progresión geometría decreciente infinita de la forma siguiente: $$\left\{a_n\right\}=30,r30,\ \ r^230,\ \ r^330,\ \ \ldots\ r^n30$$ Así que la distancia total recorrida por la pelota será \(d=30m+2\left(S_n=\frac{a_1}{1-r}\right)m\) donde \(m\) es la unidad de metros, el número dos, es porque la distancia que sube al rebotar vuelve a recorrerla al bajar. La distancia medida en metros es:
$$d=30+2\left(\frac{30}{1-\frac{1}{5}}\right)\Longrightarrow d=30+2\left(\frac{30}{\frac{4}{5}}\right)\Longrightarrow d=30+2\left(37.5\right)=105$$

Para ver más contenido relacionados a sucesiones haga clic en Ir arriba y luego en una de las pestañas de los contenidos de la parte superior.